Kant y los límites del conocimiento

En su primera etapa Kant es un filósofo racionalista seguidor de las ideas de Descartes y Leibniz a través de los estudios de Christian Wolff sobre la “universalidad del método matemático identificado con las leyes del razonamiento silogístico", y es aquí donde el profesor de Königsberg comprende el efecto definitivo que el pensamiento científico ha provocado en el pensamiento de la época, aunque se da cuenta que el pensamiento tiene un ámbito de posibilidad, pues no se puede pensar en cualquier cosa de cualquier manera, aún cuando la manera de pensar guarde una apariencia racional, pues sólo pensar en ciertas cosas y de determinada manera nos lleva al conocimiento. Es por eso que el conocimiento tiene límites y de esta apreciación surge el criticismo como doctrina epistemológica que establece tales límites al “conocimiento efectivo” a través de las “condiciones de posibilidad del pensamiento".

El problema central en Kant surge de la necesidad de conciliar en una especie de principios generales del entendimiento las leyes universales expresadas matemáticamente y conocidas por la razón, con la propuesta aristotélica no superada de que todo lo que afirmamos de la realidad tiene su origen en la experiencia sensorial que, parcialmente despojada del armazón filosófico que le dio el estagirita al haber sido sustituido por un racionalismo a ultranza, podemos afirmar que esta experiencia sólo nos revela acontecimientos sueltos, objetos específicos e incluso nos lleva a observaciones falaces o falsas sobre el mundo, porque es bien sabido que en muchas ocasiones nuestros sentidos nos engañan.

Kant inicia la solución a este problema distinguiendo entre juicios analíticos y juicios sintéticos donde los analíticos desarrollan en el predicado características que necesariamente corresponden al sujeto; de cierta manera son tautológicos y en esta noción entran todo tipo de afirmaciones de que un objeto contiene x, y, z  características que previamente sabemos son propias de ese sujeto y no de otro; estos juicios no incrementan el conocimiento de las cosas, pues simplemente afirman lo que ya conocemos de ellas (a priori)  y para manifestarlos no hace falta tener una experiencia del objeto que describimos.

Por otro lado, los juicios sintéticos son aquellos “en los que el concepto del predicado no está contenido en el concepto del sujeto”; requieren de la experiencia directa, de la percepción sensible, que avale lo que afirmamos y, por ende, aumentan el conocimiento. Un grupo de los juicios sintéticos son a posteriori de la experiencia, produciendo afirmaciones particulares (porque su verdad está restringida al “aquí” y al “ahora”) y contingentes (porque su contrario no es imposible).

Existen otro tipo de juicios sintéticos que son los que permiten el conocimiento científico, aquellos que Kant denomina juicios sintéticos a priori (como las nociones del espacio tridimensional), que son de validez universal y necesarios en tanto son precisamente los que establecen los problemas de la ciencia ya que tienen como principal propósito establecer su fundamentación. De este modo, la idea que surge al establecer los juicios sintéticos a priori radica en la posibilidad de que la experiencia se ordene racionalmente, porque si bien es cierto que nada hay en la mente humana que no tenga su origen en la experiencia sensorial (afirmación que viene de la escolástica), el conocimiento no proviene de esta experiencia sino del ordenamiento de las experiencias dentro de estructuras racionales, que es la manera como se ordena y se hace posible el conocimiento. Estas estructuras establecen la fundamentación del pensamiento y permiten al hombre desplegar su concepción racional al margen de su noción sensible del mundo. En otras palabras, “el acto intelectual del juicio sintético a priori representa la síntesis mediante la cual el sujeto cognoscente organiza la naturaleza, es decir, establece las leyes de ésta.” Las matemáticas puras y la construcción de las leyes de la física son un claro ejemplo de cómo la inteligencia humana puede generar estructuras complejas aisladas de la experiencia de los sentidos. La realidad del objeto que aprecian nuestros sentidos la podemos explicitar por la estructura del intelecto dentro de la cual ubicamos y relacionamos a dicho objeto. El verdadero conocimiento es de la “cosa en si” y no el de la “cosa como representación”.

Las propiedades de la mente humana que permiten conocer son lo que Kant denomina formas a priori divididas en tres niveles: de la percepción, de la inteligencia y de la razón y todas ellas incluyen nociones como las del espacio y el tiempo que le dan al conocimiento “condición de posibilidad”.

La causalidad, que David Hume niega atribuyéndola a la costumbre y a quien se contrapone Kant, es un juicio sintético a priori, una categoría, la de causa, que se puede aplicar a la experiencia, esto es, a todos los fenómenos de la naturaleza. El principio de causalidad es lo que nos permite comprender como necesariamente conectado lo que nos es dado empíricamente; permite que el pensamiento científico se apoye en él sin limitar su estructura racional y la universalidad de sus afirmaciones, al tiempo que racionaliza los juicios sintéticos de referencias espaciales, temporales y de cuantificación de los fenómenos. De este modo Kant establece una indagación “epistémica” del conocer humano que lo lleva a establecer la necesidad de juicios sintéticos a priori para construir la arquitectura racional del conocimiento, superando la metafísica no comprobable de los racionalistas a ultranza seguidores del pensamiento cartesiano sin matices.

Al exponer cómo el pensamiento matemático se fundamenta en juicios sintéticos a priori, Kant está alineando la razón científica a la posibilidad de racionalizar el orden del mundo, que si bien nace de una representación estética de la realidad (por lo que Kant denomina “sensibilidad”), estas representaciones pasan a ser una idea por la capacidad que tiene el hombre de ordenarlas por la “receptividad”, a partir de la cual se despliega la facultad de conocer el objeto a través de tales representaciones y esta facultad determina lo que es pensar, que tiene formas de realizarse en una persona y que es lo que desarrolla y esclarece Kant en su Lógica Trascendental: las reglas generales del pensamiento que aplicadas sistemáticamente nos llevarán a conocer la cosa en sí.

*En el próximo blogger hablaremos sobre la analítica y dialéctica trascendental como las reglas del correcto pensar. Va a estar bueno! 

¿Lo humano está regido por leyes a la manera de la física?

¿Lo humano está regido por leyes a la manera de la física?

Una nueva fe invadió el siglo XIX, la fe en la razón y en el conocimiento de la verdad a través de la ciencia, aunque como siempre, hubo incrédulos que se dieron cuenta de que aún faltaba penetrar mucho más en el conocimiento de las cosas, para poder afirmar con método la expresión parmenidiana de que todo era “uno y lo mismo”.[1]

Por lo pronto, el cambio y el movimiento se volvieron temas que sólo había que extender de la física hacia otras realidades, determinar en éstas su lógica, identificar sus variables más evidentes y, a partir de ello, su trasplante al pensamiento matemático. Sin embargo, la ciencia que más alejada se encontraba -y todavía se encuentra- de esta interpretación matemática del mundo es la biología, que es la ciencia más cercana a la interpretación del fenómeno de la vida y por ende próxima a la realidad humana. 

En el siglo XIX, la biología se ocupó en determinar las condiciones del cambio observable en los fenómenos de los seres vivos y las posibles variables que modifican constantemente una hipotética ecuación donde los seres vivos nacen, se reproducen y mueren; no obstante, más allá de aplicar los conocimientos físico-químicos de la época al estudio de los seres vivos, hacía falta una concepción unificadora de los grandes procesos que rigen la homeostasis en la más amplia diversidad de seres vivos y la mutación constante de individuos y especies, teniendo que salvar el problema de que al hablar del hombre los pensamientos se impregnaban de un antropocentrismo acarreado de las antiguas ideas filosóficas y religiosas, aún vigentes desde siempre y por siempre.

En medio de todo este caldo de cultivo que admite hablar sin cortapisas de que el cambio y el movimiento son asuntos de estudio serio y metódico, en presencia de los creadores de precisas y perfectas ecuaciones parecidas a las verdades tan anheladas, los grandes pensadores de finales del siglo XVIII y de todo el XIX tienen que dar explicación a los inmensos cambios políticos y sociales de su época: el triunfo de la Ilustración, la revolución industrial en pleno, el principio del fin de las monarquías europeas, la fiebre constitucionalista y garantista, el arranque del liberalismo como ideología, el nacimiento de las repúblicas democráticas, el inicio de la descolonización de las metrópolis europeas, en fin, todo aquello que define el Romanticismo, “correspondiente al momento en que hace crisis la estructura dogmático-racionalista del siglo XVIII”, un momento de cambios que movieron todas las premisas sobre las cuales estaba organizada y sustentada la sociedad aristocrática. En este contexto, era evidente la imperiosa necesidad de nuevos modelos de interpretación de lo humano acordes a los nuevos conceptos y realidades sociales al tiempo que era intelectualmente imposible no asumir un juicio sobre los cambios de aquella efervescente sociedad, máxime que se veía con claridad que el siglo XIX iba a ser determinado por grandes convulsiones producto del reacomodo de las fuerzas económicas y políticas.

Pensar a la sociedad como fenómeno delimitado por leyes generales, equivalentes a las del movimiento y el cambio en la naturaleza, equipara a la sociedad a un fenómeno natural que en su dimensión humana se entrevé como histórico, pues la historia es, desde Heródoto, ese conjunto de sucesos de uno o varios grupos humanos que se encuentran, en la que se entienden a unos en relación con los otros y que se van dando en un aparente orden lógico al paso del tiempo. A partir de las grandes leyes del movimiento de los cuerpos, se quiso entender la historia, lo humano, como manifestación de una especie de evolución que cumple al menos con el principio de causa y efecto [2], mismo principio que ocupa incesantemente a la ciencia y su exploración metódica de los cambios perceptibles en la materia, su movimiento y transformación.

En los siglos XVIII y XIX el conocimiento científico del movimiento había logrado un momento de verdad absoluta a partir de las Leyes de Newton y sus impresionantes secuelas en el conocimiento de otros ámbitos del mundo físico. Esto conllevó a un mecanicismo en el análisis de todos los fenómenos incluidos los históricos y los sociales, pero era evidente para el pensamiento europeo de la época que los fenómenos humanos van más allá del mecanicismo y que el hombre transcurre su existencia en fenómenos mucho más complejos que los que nos puede mostrar cualquier artefacto. Sin embargo, a partir de que existen leyes naturales es incuestionable que la razón es el fenómeno humano que hace posible el acercamiento a la verdad; siguiendo a la razón, en el siglo XVII se llegó a la “verdadera ciencia” y a un punto de partida en el conocimiento que ya nadie discute: existen referencias absolutas productos de la razón. Pero ¿qué es la razón?

Desde aquel origen etimológico de la palabra circunscrito a la geometría, que Sócrates transmutó hacia el Logos, en aquel monárquico siglo XVIII, la razón se entiende como el lenguaje que soporta la nueva lógica basada en el análisis y particularmente en el análisis matemático, tan alejado de lo que sabemos y pensamos de nosotros mismos puesto que sólo sabemos que pensamos, juzgamos, valoramos y socializamos nuestros problemas. De ahí que resulte incomprensible determinar los problemas humanos en lenguaje matemático ni contrastado con estructuras mecánicas, aunque no faltaron grandiosos intentos como el de Thomas Hobbes, que escolarmente se enmarca como miembro de la corriente del “materialismo mecanicista”, que no admite más realidad que los “cuerpos” regidos por las leyes universales del movimiento que establecen la interacción física o el “desplazamiento de unos cuerpos en relación con los otros” como la única posible causalidad. En consecuencia, sólo lo que acontece en el cuerpo es real. El hombre hobbesiano es un hombre mecanicista, es una máquina de movimiento perfectamente articulada.

Es en el gran período de la Ilustración donde la razón se va a plantear en el centro de los fenómenos humanos como la única vía de conocimiento válido, que llevará a la humanidad a un mundo con mayor claridad porque estará más iluminado, sin ignorancia y sin tiranía

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Muchos notables pensadores se dan en el “Siglo de las Luces”, pero nos detendremos en el más notable de ellos, el que realiza la gigantesca exploración de la estructura misma de la razón: Immanuel Kant, que nace cuando Newton está muriendo.

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[1] Parménides pensó una realidad inmutable, fija y estable, que se escondía detrás de las apariencias y que era el objeto propio de la ciencia. 

[2] “El principio de causalidad afirma que todo cambio en la naturaleza y en la sociedad es el resultado de la labor de causas específicos. A su vez, dicho principio, es la base de la afirmación sobre el carácter regular del universo. Esta última afirmación significa que no existen hechos que no estén condicionados, lo que supone la afirmación de que éstos están regidos por regularidades.” DEL MORAL RUIZ, Joaquín, Historia y Ciencias Humanas. Sobre metodología y didáctica, Ed. Huerga y Fierro, Madrid, España, 1999, p. 77.

¡La Naturaleza tiene Leyes!

¡La Naturaleza tiene Leyes!

El gran acontecimiento físico-matemático de los últimos años del siglo XVII fue el descubrimiento, hecho por Newton, de las leyes de la gravitación. No es tarea fácil hacer una descripción sencilla y vulgar de la obra de Newton, pues gran parte de ella tiene que ser formulada en términos matemáticos. De acuerdo con F. Sherwood Taylor, “la idea de la atracción entre dos cuerpos había sido vagamente entrevista y erróneamente comparada al magnetismo. Parece que esta idea surgió en el cerebro de Newton al observar que cualquier cuerpo que gira en una órbita circular tiende a continuar en línea recta, y sólo continúa moviéndose circularmente cuando algo lo lleva hacia el centro. Una piedra atada en el extremo de una cuerda gira siguiendo una órbita circular a consecuencia de la atracción de la cuerda.”

Ahora bien, “si los planetas se mueven en órbitas aproximadamente circulares, tiene que existir alguna fuerza entre ellos y el Sol en torno del cual giran. Esta fuerza, sostenía Newton, es la atracción que existe entre todas las partículas de materia. En su gran tratado Philosophiae Naturalis (1688), Newton se ocupa del movimiento de los cuerpos y de la aplicación de las leyes del movimiento al sistema solar. Ideas tan fundamentales como las de masa, fuerza, acción y reacción [1], aparecen claramente definidas, por primera vez, en la parte inicial de la obra citada, y quedó establecido el principio de que toda partícula de materia atrae a las restantes con una fuerza que es proporcional a su masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

La importancia de la Ley de la Gravitación Universal y de las tres Leyes de la Mecánica capaces de predecir el movimiento de los cuerpos en la Tierra, consiste en que pudieron aplicarse al reino celeste por su elegante contundencia y por su fuerza experimental; en su momento, constituyeron el impulso decisivo que necesitaba el pensamiento científico para abordar todos los temas de la naturaleza sin los grilletes que imponía la lógica aristotélica hasta ese momento dominante; de hecho basado en esa lógica, Newton, teólogo de oficio, con sus tres leyes proclamó la existencia de Dios al revelarnos la inteligibilidad del mundo de manera indiscutible y fue quien proclamó a Dios como el “Gran Matemático”. Sin embargo, muchos de los estudiosos del mundo físico a partir de ese momento hicieron a un lado a Dios y sus milagros, porque en realidad no era como tal un objeto de estudio científico y más que la fe en lo divino, empezó a decirse que lo importante era la fe en la razón, en el conocimiento, afirmación que hasta la fecha nos motiva a realizar investigaciones con la esperanza de ser o parecer científicos.

A partir de las primeras Leyes de la Naturaleza indiscutibles, los pensadores de los siglos XVIII y XIX tuvieron un asidero poderoso para hablar del movimiento y del cambio de todo tipo de fenómenos y así floreció la mecánica, la química y la termodinámica como casos especiales de la física, al tiempo que la biología,  hasta llegar a las “prodigiosas ecuaciones de Clerk Maxwell” [2] en 1873, sobre el electromagnetismo que marcan quizá el momento culminante de las ciencias ahora llamadas Clásicas.

De acuerdo con Sherwood Taylor, “en el transcurso de los siglos XVIII y XIX, la física parecía ser una ciencia, en su mayor parte lógica, construida sobre principios indiscutibles (universales). Las leyes del movimiento establecidas por Newton y desarrolladas matemáticamente por sus sucesores, parecían capaces de explicar los movimientos de cualquier cuerpo, fuese una estrella o un átomo. En algunos casos se carecía de la técnica para el planteamiento matemático, pero diríase que las leyes establecidas nunca caían en falta. La teoría cinética de los gases explicaba la naturaleza del calor, y sobre ella se basó la ciencia de la termodinámica. La teoría ondulatoria de la radiación por C. Maxwell, dio una perfecta explicación a la óptica.” En fin, con la racionalización lógica y matemática del movimiento y el cambio nació un conocimiento muy preciso para hablar de la materia, para entender los mecanismos por los cuales un cuerpo transmuta su estado hacia otro, etc., y el pensamiento mágico se volvió razón a la manera en que hubiera deseado Aristóteles. Pero más allá de Aristóteles, comenzó a hablarse de lo cambiante y movible como eje de los fenómenos naturales y por ende centro de conocimiento. Fue cuestión de tiempo y esfuerzo científico para llegar a verdades fundamentales y absolutas sobre lo que da sentido y posibilidad de comprensión a la realidad.

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[1] La implicación más importante de las Leyes de la Mecánica de Newton, al decir de Robert March en Física para Poetas, fue la de “haber suprimido de la mecánica la distinción entre participantes activos y pasivos en el movimiento. La fuerza ha quedado definida como una interacción entre participantes, entre los cuales no puede establecerse una distinción cualitativa. La “acción” y la “reacción” son los componentes inseparables de una sola interacción, a la que damos el nombre de fuerza.”  (p. 52).

[2] Clerk Maxwell emitió en forma decisiva la teoría de que la luz era una oscilación electromagnética y planteó las ecuaciones que rigen tales vibraciones. De acuerdo con Robert March, “el coronamiento de la obra de Maxwell fue reconocer que la velocidad de propagación de un campo electromagnético cambiante es la velocidad de la luz.” Física para poetas,  pág. 110.

Definición racional del movimiento: derivación e integración

La función es una interrelación de magnitudes, donde una magnitud está en función de otra si su valor depende del valor de la primera (valga como ejemplo el área del círculo cuyo valor depende de la magnitud del radio: A = π·r2). Entender la derivación en una función, es decir, su derivada, es medir cómo cambia la función y cómo se mueven sus variables; se trata de saber medir bien el cambio y el movimiento de algo representable en una función, pues “utilizamos funciones para representar fenómenos que evolucionan con respecto al tiempo; la derivada será fundamental para analizar distintos aspectos de esos fenómenos”.

  

La derivada es la “formalización matemática del concepto de velocidad”, “una medida de la rapidez con la que cambia el valor de una función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.” Dice el texto escolar que “la derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de variación media de la función  en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud”. 

El cálculo infinitesimal apareció ante la consideración de velocidades de variación de magnitudes variables. En la velocidad constante, siempre se da que v= e/t (la velocidad es igual al espacio sobre tiempo). Si el espacio aumenta, en la misma proporción aumenta el tiempo, ya que la velocidad es invariable. Pero si, por el contrario, la velocidad es variable, el tiempo en que podremos considerarla constante es pequeñísimo, teniendo que medir el espacio correspondiente a ese tiempo. Al reducir e y t más allá de todo límite haciéndose infinitesimales, su cociente seguirá proporcionando la velocidad en el instante considerado. De igual modo que con el espacio y el tiempo se puede hacer con dos cantidades cualesquiera que dependan una de otra.

Geométricamente, la derivada corresponde a la pendiente de la tangente en un punto, es decir “la inclinación de la recta respecto al espacio cartesiano cuando toca solamente un punto de la curva que representa la función y el cambio infinitesimal de la pendiente que sólo va tocando un punto conforme va contorneando a la curva.” De lo anterior, se puede decir que “una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x” y eso es precisamente lo que permite definir de manera racional el movimiento.

Por el proceso de la integración, el área del círculo, por ejemplo, puede definirse como el límite de una suma cuyos sumandos tienden a cero al tiempo que su número crece indefinidamente.Este cálculo integral no hace realmente más que generalizar métodos para calcular áreas de figuras limitadas por líneas curvas, cuyo origen se remonta a los antiguos geómetras griegos (Euclides y principalmente Arquímedes) pero también a los métodos de la geometría moderna a partir de Descartes. 

Newton y Leibniz llegaron por diferentes caminos al cálculo de la derivación, el primero, apoyado en las ideas de su mentor Isaac Barrow, había aprendido a considerar las curvas desde un punto de vista cinemático: su análisis de curvas era un análisis de puntos en movimiento. Newton encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas, donde introdujo el concepto de fluxión, que para él significaba la velocidad con la que una variable fluye (cambia su proporcionalidad) a través del tiempo; Leibniz, por su parte, mantuvo el carácter geométrico y específicamente trigonométrico y consideró a la derivada como un cociente incremental (lo que posteriormente sería el gradiente) y no como una velocidad. Lo esencial en esta discusión es que al haber manejado Newton el concepto de velocidad como un concepto fundamental de su modelo, estaría en posibilidad de pensar con inmensa claridad el movimiento mecánico, siempre ligado a los conceptos de masa, fuerza y aceleración.

Con el cálculo diferencial e integral, el punto como tal es objeto de estudio, considerándolo un elemento de dimensión infinitamente pequeña y esto es una solución sorprendente al problema, quizá paradójico, que quedó planteado en el pensamiento cartesiano de que lo inextenso (el punto) creaba lo extenso al ponerse en referencia con su “figura y extensión”.

La lógica geométrica clásica y toda su amplia simetría con el pensamiento aristotélico, amalgamada con el pensamiento racional moderno referido al análisis cartesiano, encuentra su lenguaje preciso y formal para hablar de lo antes inexpresable, hoy convertido en conceptos fundamentales: el infinito y la nada, y es así como problemas insalvables para los antiguos como el cálculo de áreas contenidas por líneas curvas cualesquiera (en el que mucho aportaron pensadores como Euclides  y Arquímedes), fueron resueltos con enorme precisión y el estudio de áreas y volúmenes de sólidos de revolución fue asumido como una verdad absoluta de la razón y, con ello, el movimiento y el cambio finalmente fueron asibles bajo la óptica matemática, que llevaron de la mano a entender estos conceptos dentro del mundo físico y hasta hoy escuchamos el estruendo que estos hallazgos provocaron en todos los ámbitos del pensamiento.

El Infinito en la Naturaleza

El infinito en la naturaleza

Al sistematizar el conocimiento de las curvas geométricas se resolvió el problema de cómo se movía un punto geométrico, pero no se resolvía el problema más profundo de qué clase de movimiento era éste, cómo se pasaba de un punto a otro, qué clase de “saltos” se requerían para que lo no dimensional (el punto) se desplazara sin limitaciones aparentes dentro de las tres dimensiones del espacio cartesiano; quedaba, pues, un antiguo pero enorme problema por resolver: las paradojas del movimiento de lo infinitamente pequeño, eso que es el punto geométrico que no tiene “extensión” tal como la concibió Descartes, pero que a partir de la cual se entendía la extensión de las cosas.

En medio de una gran acumulación de pensamientos muy agudos y de una avalancha de demostraciones de teoremas que se planteaban a manera de juegos, culmina este proceso, en la segunda mitad del siglo XVII, con el diseño del cálculo diferencial e integral, que propone de manera plausible la solución al problema del cambio de posición de un punto a otro dentro de un espacio infinitamente pequeño y la interpretación del avance de un instante infinitamente pequeño hacia otro de la misma dimensión; el cambio y el movimiento podían finalmente ser expresados en todas sus manifestaciones perceptibles matemáticamente. A partir del descubrimiento del cálculo, podemos hablar del infinito de manera coloquial para hablar de la naturaleza y, el signo [∞] al igual que antes el cero, empezó a resultar  cotidiano en el pensamiento científico.

No obstante, el descubrimiento del cálculo infinitesimal se dio en el contexto de búsqueda de soluciones a los principales problemas científicos del siglo XVII, como obtener longitudes de curvas, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, tangentes a una curva y máximos y mínimos de funciones. Asimismo, el viejo problema de la inteligibilidad del mundo para explicar la “Creación” ocupó a G.W. Leibniz y simultáneamente a Isaac Newton en la búsqueda de las herramientas matemáticas capaces de hacer comprensible el elemento fundamental del mundo, de la geometría y la aritmética. 

Mucho sabemos de los mezquinos pleitos de Leibniz y Newton por la autoría del cálculo diferencial e integral, asuntos de la dualidad del alma humana, y hoy no cabe duda que descubrieron de forma totalmente distinta la matemática infinitesimal. “Leibniz, junto a su adhesión ideológica a la teoría de los indivisibles (las mónadas) emana de un pensamiento fuertemente impregnado de consideraciones filosóficas-gnoseológicas.” Por su parte Newton descubre el cálculo infinitesimal desde un enfoque puramente físico-matemático, inspirado para ello en las investigaciones sobre el comportamiento de las series geométricas, un tema de exploración muy socorrido a principios del siglo XVIII.

Pasar de un punto a otro, de un número a otro era en el cartesianismo un conocimiento de lo discontinuo, era un “salto al límite” aristotélico que debía resolverse dentro de la misma geometría y dentro de la misma serie aritmética; el conjunto de referencias dentro del espacio cartesiano conformaban el todo, y sólo a partir de este conocimiento se podrían resolver problemas como el del movimiento inercial, que Descartes dejó inconcluso, en el sentido de llevarlo a una explicación que correspondiera plenamente a su análisis, esto es, se veía con claridad que estaba pendiente encontrar las ecuaciones que explicaran el movimiento mecánico de manera definitiva. La clave se encontró en el concepto de “serie”.

Leibniz y el principio de continuidad

F.W. Leibniz introduce el antiguo concepto de mónada (unidad) para referirse a los componentes fundamentales de la realidad y del conocimiento de las cosas, pero las eleva a unidades elementales de nuestra percepción, componentes últimos de la realidad, indivisibles, que en su conjunto dan congruencia a todo lo que existe. Su existencia es creación de Dios -la mónada perfecta- pues “de todas las posibilidades lógicas, Dios escogió aquellas que representaban el mejor mundo posible”.Leibniz fundamenta en este concepto teológico su desarrollo del cálculo infinitesimal. Definidas como “substancia individual, única, inmaterial, simple e indivisible” las mónadas están dotadas de capacidad de percepción para representarse el tránsito y movimiento de sus cambios internos, pues según Leibniz, “la continuidad está presente en el tiempo tanto como en el proceso de la naturaleza debido a que ese proceso nunca tiene lugar por saltos repentinos.” En lugar de admitir que la naturaleza aborrece el infinito, como pensaban los griegos, Leibniz mantiene que está presente en todo. “Creo, por tanto, que no hay ninguna parte en la Naturaleza que no sea solo divisible, sino que está ya actualmente dividida, y por consiguiente, la menor parcela debe ser considerada como un mundo pleno de una infinidad de criaturas diferentes.”

El principio de la continuidad propuesto por Leibniz exige que “entre cualesquiera dos fenómenos, conceptos, etc., existe un infinito número de otros fenómenos o conceptos”, es decir, que aquello que conocemos se muestra siempre como un continuo que está formado por un número infinito de partes que no podemos reconocer como desgajadas del todo. En la física, esta ley se traduce en que nada en la naturaleza se desarrolla mediante saltos. Todo cambio de un estado a otro se produce mediante una sucesión infinita de estados intermedios. En la matemática, ello se manifiesta en análisis de series infinitas y en general en la utilización del cálculo diferencial e integral.

El infinito tiene límites

Para los griegos, y veinte siglos después, las series infinitas planteaban un serio problema a la razón; sin embargo, un análisis cuidadoso de su comportamiento nos permiten concluir que hay series que convergen, es decir, que tienen un límite que puede ser conocido. Ponerle un límite a determinados infinitos es racionalizarlos y este concepto es decisivo en la lógica que determinará el conocimiento que hoy tenemos de la realidad o de las realidades, según como pensemos y el fenómeno con el que nos confrontemos. Hablar de los límites de lo humano no tiene referencia con el límite matemático, pero a partir del límite matemático, hoy tratamos de explicar los fenómenos de todo tipo, incluidos los históricos y sociales.

Por ahora, regresemos a los problemas matemáticos a finales del siglo XVII y principios del XVIII, de los que surgió el concepto de límite al analizar series y sucesiones.

El caso especial de sucesión que establecía el problema geométrico fundamental es el que planteó Zenón en su ya tan mencionada paradoja, que era el de partir a la mitad cada distancia entre dos puntos hasta el infinito y esto plantea un caso especial de sucesión denominado serie, lo que aparentemente no tiene un final cognoscible. Una serie es la “generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita”, y un caso particular son las series geométricas, en las que la razón es constante en cada uno de los términos sucesivos de la serie. (Ejemplo: ½ + ¼ + ⅛ +…+ 1/n donde n=∞, la razón aquí es ½ sobre el término inmediato anterior). El gran descubrimiento es que la suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero, sin importar que la serie sea infinita y esta finitud o convergencia de la serie es lo que determina su límite. En matemáticas, el límite se define como “la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.”

Del conocimiento profundo del límite de las series infinitas, surgieron conceptos fundamentales que movieron nuestra idea de la realidad: convergencia, continuidad, derivación e integración, que dieron lugar al cálculo en análisis real, supongo que el mejor Sueño de Descartes hecho realidad, el análisis a partir de la nada y el infinito, a partir de la aceptación del carácter axiomático de números reales, pero eso es otra historia. Poner sobre la mesa conceptos como convergencia y continuidad, es enormemente sugerente para abordar los más diversos análisis, las más diversas dudas metódicas. 

Llegamos aquí a un punto central de nuestra disertación sobre el cambio y el movimiento, la derivación y la integración de funciones como conceptos de gran fuerza, podríamos decir esenciales, del cálculo en análisis real (sobre números reales).

Realidad Matematizable

Corresponde a René Descartes en el siglo XVII establecer la “duda metódica” y a partir de ella el método analítico para llegar a los elementos primigenios del saber, descomponiendo la realidad en sus elementos que la integran hasta llegar a los principios últimos que son evidentes a la razón. Dejando a un lado la lógica del Organon aristotélico, introduce el método que se utiliza en las matemáticas, como un nuevo proceso de pensamiento para conocer la realidad, que por demás, en Descartes es una realidad subjetiva que para acceder a su comprensión debemos acercarnos a ella con las más estrictas reglas de la razón; el racionalismo a ultranza en su versión moderna, quizá hasta nuestros días, está alineado con las propuestas cartesianas, aunque es notable que el concepto de razón surgido de los geómetras griegos y utilizado por Sócrates, prevalece como norma fundamental para lograr la síntesis que reintegra la unidad a las partes que surgen de la descomposición provocada por el análisis.

De este racionalismo surgió en Descartes un mecanicismo también radical, que tuvo un enorme impacto en el pensamiento científico y social durante al menos ciento cincuenta años y que tiene secuelas importantes hasta nuestros días. La propuesta es que el análisis se aplica a todas las disciplinas del pensamiento y que cualquier problema tiene elementos diferenciables unos de otros y relaciones entre estas partes también diferenciables a manera de “ideas claras y distintas”, elementos simples sustanciales a la naturaleza de las cosas que son racionalmente evidentes y que permiten la síntesis, que es el entendimiento del todo a partir de la integración de las partes y sólo así podemos comprender o pensar una situación compleja.

Del riquísimo pensamiento cartesiano y sus ensayos científicos inscritos en el “Discurso del Método. Para dirigir bien la razón y hallar la verdad en las ciencias” (1637), sólo haremos una reflexión sobre su famoso ensayo “La Geometría”, donde crea con una elegancia extraordinaria lo que hoy conocemos como geometría analítica, donde a partir del espacio cartesiano delimitado en planos puntuales, resuelve de una buena vez por todas el análisis geométrico de las curvas, un antiguo problema del que mucho se sabía desde Pitágoras y después Euclides, pero del que no se había podido distinguir en contexto geométrico su razón fundamental: el punto, que para la geometría es el cero de la aritmética y cuyo conocimiento no le fue dado a los antiguos griegos, aunque lo utilizaron con genialidad desde el centro de una “inmensa circunferencia creativa”.

El punto por definición y desde hace más de 25 siglos, es una mera referencia en el espacio que no tiene dimensión, pero que al moverse genera líneas geométricas; baste recordar la discusión sobre Aquiles y la Tortuga para comprender la complejidad que encierra pensar en algo que no tiene dimensión pueda moverse. Descartes, ya herramentado con los conocimientos de la época, establece que el punto es una idea referencial que se mueve dentro de un marco referencial, que son los ejes cartesianos, y que podemos conocer la razón en la proporcionalidad con que se mueve entre un eje y otro en un plano bidimensional o entre un eje y los otros dos en tres dimensiones. Esto lo lleva a discernir la creación de todo tipo de curvas lineales y superficiales a partir del movimiento del punto en determinadas direcciones sujetas a relaciones matemáticas precisas que se establecen entre los cambios determinados en uno o dos ejes y su resultado en el eje restante del modelo. De este modo, todos los fenómenos naturales podían ahora ser analizados como curvas, como puntos en movimiento y, como ejemplo, Descartes desarrolla los principios de la inercia mecánica y da una nueva dimensión conceptual a todos los hallazgos científicos previos al determinar que cualquier fenómeno puede ser representado en el espacio cartesiano como una equivalencia matemática precisa y metódica, siempre poniendo los elementos observables de lo que queremos explicar en función de otros elementos distinguibles hasta llegar a una síntesis matemática que nos lleva a una ecuación, y a su vez, esta ecuación nos lleva a revelar la naturaleza curvilínea de este conjunto de relaciones, como si las ideas geométricas que Platón ponía como evidencia de la supremacía de las Ideas sobre el mundo sensorial, se hicieran comprensibles para explicar todo lo que observamos como realidad, como si todo lo que podemos conocer estuviera hecho de ángulos y arcos, y más aún, de elementos geométricos con los cuales todo, cualquier conocimiento, es representable. “Para Descartes, las cosas reales no son ni más ni menos que simples figuras geométricas.”

Descartes deja puesto como basamento inamovible el método matemático como el lenguaje de la ciencia, reuniendo los conocimientos matemáticos de su época alimentados del álgebra y de la nueva aritmética surgida con el cero, con la geometría clásica, modelo de razón, el pensamiento más ordenado hasta entonces conocido, quizá hasta hoy conocido y que tendrá un inmenso impacto en nuestro modo de conocer las cosas del cuerpo y del alma; Descartes, releé la solución aristotélica de la sustancia y la esencia, que trasmuta en la res cogitans, la cosa que piensa a partir de sus atributos de imaginación, sentimiento y voluntad que conllevan la conciencia, frente a la res extensa que es el atributo fundamental de la substancia, la extensión espacial tridimensional como la razón fundamental de la existencia de las cosas, condición previa y necesaria para que pueda darse la “figura y el movimiento” de las cosas. Puede entenderse entonces la conclusión cartesiana de que la existencia sólo es posible en el pensamiento, pues la cosa, la res en su dualidad, es pensamiento puro.

El análisis cartesiano es un momento culminante en este poderoso impulso de perfeccionar el herramental matemático para abordar nuestra inmersión en la realidad que impone una nueva realidad matematizable: disponer al espacio y al tiempo en forma de curvas equivalentes a ecuaciones (las funciones geométricas), donde la antigua trigonometría toma la dimensión de base de conocimiento de todas las ecuaciones analíticas posibles (porque el triángulo es la superficie elemental) y donde la extensión de las cosas hace posible su movimiento y este movimiento de las cosas hace posible su pensamiento. Son estos pensamientos más que puras elucubraciones matemáticas, y como conocimiento específico, la geometría analítica abre un universo de posibilidades al pensamiento matemático del siglo XVII, donde se da una explosión de genios matemáticos que no termina sino hasta muy entrado el siglo XX.

Renacimiento, Matemáticas y Movimiento

Renacimiento, Matemáticas y Movimiento 

La mutabilidad del ser, la posibilidad de pensar en el movimiento como problema intrínseco de la existencia de las cosas, es una de las ideas centrales que explican el Renacimiento (1300-1600 d.C.): una vuelta a las viejas discusiones de la Academia original y surgen ideas provocadoras como las de Giordano Bruno, Copérnico y Galileo Galilei (1564-1642), que tratando de demostrar que el mundo es inteligible porque está creado por un ser inteligente - inteligente a la manera del hombre- se encuentran con que la inteligibilidad de lo que existe sólo es posible más allá de los dogmas de fe y que hay que realizar una relectura crítica de Platón y Aristóteles para encontrar nuevos significados lógicos que expliquen los fenómenos. Surge en esta búsqueda -en la versión que hoy conocemos- la proclama de que hay Leyes Naturales y que estas leyes operan por orden del creador, pero independientemente de Él pues siempre suceden las cosas en procesos iguales, que podemos apreciar de manera comprobable en un tiempo y espacio bien definidos.

Cuando Copérnico, lleno de culpas, descubre que es mucho más fácilmente inteligible el sistema solar poniendo al sol al centro en vez de la tierra, está echando a andar una visión de que nuestro mundo se mueve, que al menos gira alrededor del sol y sobre su eje a velocidades no comprensibles para la sensorialidad y, en ese tanto, recordamos con solemnidad las palabras de Galileo que contienen el concepto que va a explicar al mundo a partir de entonces: “Eppur si muove”  [“Sin embargo, se mueve”].

No es casual que la obra más conocida de Galileo sean sus Discursos Concernientes a Dos Nuevas Ciencias (1638), donde establece las leyes de la mecánica, el movimiento pendular, el movimiento parabólico, la caída libre y el plano inclinado, leyes  que con total precisión algebraica determinan las relaciones que determinan estos fenómenos bajo condiciones bien conocidas, con lo que da lugar a las primeras Leyes Naturales modernas que, junto con las finísimas observaciones de Copérnico sobre el recorrido de áreas iguales en distancias diferenciadas de la elíptica astral, van a establecer el rumbo del pensamiento occidental, donde el herramental lógico matemático será la gran palanca y el gran lenguaje para hablar de la realidad:  todo el mundo sensible es una inmensa construcción de razones y proporciones inteligibles, objetos de conocimiento.

Hablar de Leyes Naturales trajo consigo la semilla de la destrucción de la idea de la omnipotencia de Dios, pues aunque la intención de sus proponentes caía en el terreno teológico de demostrar la existencia de Dios, en realidad separó al mundo de la voluntad divina: el mundo generaba sus fenómenos día tras día al margen de la voluntad divina y sólo un milagro podía cambiar eso; pero ninguno de estos primeros científicos pudo documentar un milagro y aún la Iglesia con todo su peso específico en aquella época pudo contraponer algún milagro que detuviera el avance de este tipo de pensamiento, salvo la hoguera Heraclitiana manifestada en las quemazones de la Santa Inquisición.

El verdadero análisis del movimiento y por ende del cambio se dio en un terreno fértil que ha dominado desde entonces nuestro conocimiento de la realidad física: las matemáticas. El primer concepto poderoso que resolvió el dilema de la dualidad del mundo fue un concepto antiguo llevado a una expresión moderna que es la función algebraica: los fenómenos no son sino en función de otros fenómenos, la igualdad en una ecuación significaba que una realidad era igual, conceptualmente equivalente en tanto otras realidades conocidas se combinaban en forma perfecta.

Los resultados exactos provenientes de ecuaciones matemáticas relacionando una idea con todo lo demás que debía intervenir para darle sentido, es una revolución intelectual del mundo moderno, que la llevó más allá de una disquisición teórica en el mundo árabe, a una poderosa herramienta para dar una interpretación dinámica y repetible a los fenómenos observables, donde si cambio los factores de un lado de la ecuación, en ese tanto, con una congruencia precisa, se modifica el otro lado de la igualdad. Desde que pensamos los fenómenos en forma de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, la dualidad ya no es discutible entre realidad e idea, sino entre dos realidades que se subsumen en su igualdad.  Es por esto que la idea de que existen Leyes Naturales que son matemáticamente inteligibles hacen ver a Dios como el Gran Matemático y más allá de eso, se percibe a Dios como la gran ecuación que conforma todos los elementos del mundo y eso no es del gusto de los creyentes.

A partir del Renacimiento el conocimiento matemático arrancó un proceso progresivo que aún no termina: todo conocimiento que no pueda transferirse a un conjunto de ecuaciones no tiene soporte para una discusión seria y vemos desesperados esfuerzos en todas las áreas del conocimiento, hasta en la filosofía con los positivistas lógicos, de llegar a este paradigma, que por demás hay quien lo ha puesto en duda con mucha seriedad.

El cambio y el movimiento empezaron a ser racionalmente comprensibles a partir de las leyes del movimiento de los cuerpos físicos, aquellas que los griegos clásicos les restaron importancia por no ser sustanciales, por ser mera potencia frente a los actos que es la razón del conocimiento aristotélico.  

A la par del nacimiento de las monarquías modernas europeas (siglos XVI al XVIII), se desarrolla un intenso pensamiento matemático, que a veces es mero juego en las cortes y a veces es reflexión muy profunda para acercarse a las relaciones fundamentales de las variables del mundo por parte de los teólogos y filósofos de la época; al introducir en el lenguaje docto el concepto de “variable” y de “función”, cambia la lógica del Organon para llevarla a otro estadio: podemos conocer los fenómenos por sus variables y existen constantes que son cuantitativamente mensurables y cualitativamente indiscutibles frente al peso de la experimentación, en tanto son proporciones exactas de lo que sucede entre fenómenos perceptibles. Se produjo así, efectivamente, el paso decisivo de una matemática de magnitudes estáticas, constantes, a una matemática de magnitudes variables.

Lo variable, al fin, es objeto de conocimiento, aunque en este momento del pensamiento nadie se refería a la dialéctica de Heráclito y a lo sumo con gran presunción se proclamó que finalmente había sido resuelta la paradoja de Aquiles y la Tortuga al descubrirse la convergencia de las series y que al menos en eso, los antiguos filósofos físicos, específicamente Zenón, habían planteado como un falso problema. Pero hoy sabemos que la humanidad siempre ha convivido con falsos problemas y hoy estamos llenos de ellos.