La función es una interrelación de magnitudes, donde una magnitud está en función de otra si su valor depende del valor de la primera (valga como ejemplo el área del círculo cuyo valor depende de la magnitud del radio: A = π·r2). Entender la derivación en una función, es decir, su derivada, es medir cómo cambia la función y cómo se mueven sus variables; se trata de saber medir bien el cambio y el movimiento de algo representable en una función, pues “utilizamos funciones para representar fenómenos que evolucionan con respecto al tiempo; la derivada será fundamental para analizar distintos aspectos de esos fenómenos”.
La derivada es la “formalización matemática del concepto de velocidad”, “una medida de la rapidez con la que cambia el valor de una función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.” Dice el texto escolar que “la derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de variación media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud”.
El cálculo infinitesimal apareció ante la consideración de velocidades de variación de magnitudes variables. En la velocidad constante, siempre se da que v= e/t (la velocidad es igual al espacio sobre tiempo). Si el espacio aumenta, en la misma proporción aumenta el tiempo, ya que la velocidad es invariable. Pero si, por el contrario, la velocidad es variable, el tiempo en que podremos considerarla constante es pequeñísimo, teniendo que medir el espacio correspondiente a ese tiempo. Al reducir e y t más allá de todo límite haciéndose infinitesimales, su cociente seguirá proporcionando la velocidad en el instante considerado. De igual modo que con el espacio y el tiempo se puede hacer con dos cantidades cualesquiera que dependan una de otra.
Geométricamente, la derivada corresponde a la pendiente de la tangente en un punto, es decir “la inclinación de la recta respecto al espacio cartesiano cuando toca solamente un punto de la curva que representa la función y el cambio infinitesimal de la pendiente que sólo va tocando un punto conforme va contorneando a la curva.” De lo anterior, se puede decir que “una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x” y eso es precisamente lo que permite definir de manera racional el movimiento.
Por el proceso de la integración, el área del círculo, por ejemplo, puede definirse como el límite de una suma cuyos sumandos tienden a cero al tiempo que su número crece indefinidamente.Este cálculo integral no hace realmente más que generalizar métodos para calcular áreas de figuras limitadas por líneas curvas, cuyo origen se remonta a los antiguos geómetras griegos (Euclides y principalmente Arquímedes) pero también a los métodos de la geometría moderna a partir de Descartes.
Newton y Leibniz llegaron por diferentes caminos al cálculo de la derivación, el primero, apoyado en las ideas de su mentor Isaac Barrow, había aprendido a considerar las curvas desde un punto de vista cinemático: su análisis de curvas era un análisis de puntos en movimiento. Newton encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas, donde introdujo el concepto de fluxión, que para él significaba la velocidad con la que una variable fluye (cambia su proporcionalidad) a través del tiempo; Leibniz, por su parte, mantuvo el carácter geométrico y específicamente trigonométrico y consideró a la derivada como un cociente incremental (lo que posteriormente sería el gradiente) y no como una velocidad. Lo esencial en esta discusión es que al haber manejado Newton el concepto de velocidad como un concepto fundamental de su modelo, estaría en posibilidad de pensar con inmensa claridad el movimiento mecánico, siempre ligado a los conceptos de masa, fuerza y aceleración.
Con el cálculo diferencial e integral, el punto como tal es objeto de estudio, considerándolo un elemento de dimensión infinitamente pequeña y esto es una solución sorprendente al problema, quizá paradójico, que quedó planteado en el pensamiento cartesiano de que lo inextenso (el punto) creaba lo extenso al ponerse en referencia con su “figura y extensión”.
La lógica geométrica clásica y toda su amplia simetría con el pensamiento aristotélico, amalgamada con el pensamiento racional moderno referido al análisis cartesiano, encuentra su lenguaje preciso y formal para hablar de lo antes inexpresable, hoy convertido en conceptos fundamentales: el infinito y la nada, y es así como problemas insalvables para los antiguos como el cálculo de áreas contenidas por líneas curvas cualesquiera (en el que mucho aportaron pensadores como Euclides y Arquímedes), fueron resueltos con enorme precisión y el estudio de áreas y volúmenes de sólidos de revolución fue asumido como una verdad absoluta de la razón y, con ello, el movimiento y el cambio finalmente fueron asibles bajo la óptica matemática, que llevaron de la mano a entender estos conceptos dentro del mundo físico y hasta hoy escuchamos el estruendo que estos hallazgos provocaron en todos los ámbitos del pensamiento.
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