El Infinito en la Naturaleza

El infinito en la naturaleza

Al sistematizar el conocimiento de las curvas geométricas se resolvió el problema de cómo se movía un punto geométrico, pero no se resolvía el problema más profundo de qué clase de movimiento era éste, cómo se pasaba de un punto a otro, qué clase de “saltos” se requerían para que lo no dimensional (el punto) se desplazara sin limitaciones aparentes dentro de las tres dimensiones del espacio cartesiano; quedaba, pues, un antiguo pero enorme problema por resolver: las paradojas del movimiento de lo infinitamente pequeño, eso que es el punto geométrico que no tiene “extensión” tal como la concibió Descartes, pero que a partir de la cual se entendía la extensión de las cosas.

En medio de una gran acumulación de pensamientos muy agudos y de una avalancha de demostraciones de teoremas que se planteaban a manera de juegos, culmina este proceso, en la segunda mitad del siglo XVII, con el diseño del cálculo diferencial e integral, que propone de manera plausible la solución al problema del cambio de posición de un punto a otro dentro de un espacio infinitamente pequeño y la interpretación del avance de un instante infinitamente pequeño hacia otro de la misma dimensión; el cambio y el movimiento podían finalmente ser expresados en todas sus manifestaciones perceptibles matemáticamente. A partir del descubrimiento del cálculo, podemos hablar del infinito de manera coloquial para hablar de la naturaleza y, el signo [∞] al igual que antes el cero, empezó a resultar  cotidiano en el pensamiento científico.

No obstante, el descubrimiento del cálculo infinitesimal se dio en el contexto de búsqueda de soluciones a los principales problemas científicos del siglo XVII, como obtener longitudes de curvas, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, tangentes a una curva y máximos y mínimos de funciones. Asimismo, el viejo problema de la inteligibilidad del mundo para explicar la “Creación” ocupó a G.W. Leibniz y simultáneamente a Isaac Newton en la búsqueda de las herramientas matemáticas capaces de hacer comprensible el elemento fundamental del mundo, de la geometría y la aritmética. 

Mucho sabemos de los mezquinos pleitos de Leibniz y Newton por la autoría del cálculo diferencial e integral, asuntos de la dualidad del alma humana, y hoy no cabe duda que descubrieron de forma totalmente distinta la matemática infinitesimal. “Leibniz, junto a su adhesión ideológica a la teoría de los indivisibles (las mónadas) emana de un pensamiento fuertemente impregnado de consideraciones filosóficas-gnoseológicas.” Por su parte Newton descubre el cálculo infinitesimal desde un enfoque puramente físico-matemático, inspirado para ello en las investigaciones sobre el comportamiento de las series geométricas, un tema de exploración muy socorrido a principios del siglo XVIII.

Pasar de un punto a otro, de un número a otro era en el cartesianismo un conocimiento de lo discontinuo, era un “salto al límite” aristotélico que debía resolverse dentro de la misma geometría y dentro de la misma serie aritmética; el conjunto de referencias dentro del espacio cartesiano conformaban el todo, y sólo a partir de este conocimiento se podrían resolver problemas como el del movimiento inercial, que Descartes dejó inconcluso, en el sentido de llevarlo a una explicación que correspondiera plenamente a su análisis, esto es, se veía con claridad que estaba pendiente encontrar las ecuaciones que explicaran el movimiento mecánico de manera definitiva. La clave se encontró en el concepto de “serie”.

Leibniz y el principio de continuidad

F.W. Leibniz introduce el antiguo concepto de mónada (unidad) para referirse a los componentes fundamentales de la realidad y del conocimiento de las cosas, pero las eleva a unidades elementales de nuestra percepción, componentes últimos de la realidad, indivisibles, que en su conjunto dan congruencia a todo lo que existe. Su existencia es creación de Dios -la mónada perfecta- pues “de todas las posibilidades lógicas, Dios escogió aquellas que representaban el mejor mundo posible”.Leibniz fundamenta en este concepto teológico su desarrollo del cálculo infinitesimal. Definidas como “substancia individual, única, inmaterial, simple e indivisible” las mónadas están dotadas de capacidad de percepción para representarse el tránsito y movimiento de sus cambios internos, pues según Leibniz, “la continuidad está presente en el tiempo tanto como en el proceso de la naturaleza debido a que ese proceso nunca tiene lugar por saltos repentinos.” En lugar de admitir que la naturaleza aborrece el infinito, como pensaban los griegos, Leibniz mantiene que está presente en todo. “Creo, por tanto, que no hay ninguna parte en la Naturaleza que no sea solo divisible, sino que está ya actualmente dividida, y por consiguiente, la menor parcela debe ser considerada como un mundo pleno de una infinidad de criaturas diferentes.”

El principio de la continuidad propuesto por Leibniz exige que “entre cualesquiera dos fenómenos, conceptos, etc., existe un infinito número de otros fenómenos o conceptos”, es decir, que aquello que conocemos se muestra siempre como un continuo que está formado por un número infinito de partes que no podemos reconocer como desgajadas del todo. En la física, esta ley se traduce en que nada en la naturaleza se desarrolla mediante saltos. Todo cambio de un estado a otro se produce mediante una sucesión infinita de estados intermedios. En la matemática, ello se manifiesta en análisis de series infinitas y en general en la utilización del cálculo diferencial e integral.

El infinito tiene límites

Para los griegos, y veinte siglos después, las series infinitas planteaban un serio problema a la razón; sin embargo, un análisis cuidadoso de su comportamiento nos permiten concluir que hay series que convergen, es decir, que tienen un límite que puede ser conocido. Ponerle un límite a determinados infinitos es racionalizarlos y este concepto es decisivo en la lógica que determinará el conocimiento que hoy tenemos de la realidad o de las realidades, según como pensemos y el fenómeno con el que nos confrontemos. Hablar de los límites de lo humano no tiene referencia con el límite matemático, pero a partir del límite matemático, hoy tratamos de explicar los fenómenos de todo tipo, incluidos los históricos y sociales.

Por ahora, regresemos a los problemas matemáticos a finales del siglo XVII y principios del XVIII, de los que surgió el concepto de límite al analizar series y sucesiones.

El caso especial de sucesión que establecía el problema geométrico fundamental es el que planteó Zenón en su ya tan mencionada paradoja, que era el de partir a la mitad cada distancia entre dos puntos hasta el infinito y esto plantea un caso especial de sucesión denominado serie, lo que aparentemente no tiene un final cognoscible. Una serie es la “generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita”, y un caso particular son las series geométricas, en las que la razón es constante en cada uno de los términos sucesivos de la serie. (Ejemplo: ½ + ¼ + ⅛ +…+ 1/n donde n=∞, la razón aquí es ½ sobre el término inmediato anterior). El gran descubrimiento es que la suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero, sin importar que la serie sea infinita y esta finitud o convergencia de la serie es lo que determina su límite. En matemáticas, el límite se define como “la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.”

Del conocimiento profundo del límite de las series infinitas, surgieron conceptos fundamentales que movieron nuestra idea de la realidad: convergencia, continuidad, derivación e integración, que dieron lugar al cálculo en análisis real, supongo que el mejor Sueño de Descartes hecho realidad, el análisis a partir de la nada y el infinito, a partir de la aceptación del carácter axiomático de números reales, pero eso es otra historia. Poner sobre la mesa conceptos como convergencia y continuidad, es enormemente sugerente para abordar los más diversos análisis, las más diversas dudas metódicas. 

Llegamos aquí a un punto central de nuestra disertación sobre el cambio y el movimiento, la derivación y la integración de funciones como conceptos de gran fuerza, podríamos decir esenciales, del cálculo en análisis real (sobre números reales).